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적분 판정법

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목차

1. 개요

적분 판정법은 급수의 수렴 여부를 판별하는 데 사용되는 방법으로, 감소하는 양의 실수 값을 갖는 함수와 관련된 급수와 이상 적분의 수렴성을 연결한다. 이 판정법은 급수 ∑f(n) 가 수렴하는 것과 이상 적분 ∫f(x)dx 가 수렴하는 것이 동치임을 보여준다. 또한, p-급수와 일반화된 p-급수와 같은 특정 급수의 수렴성을 판별하는 데 활용되며, 조화 급수와 리만 제타 함수를 예시로 들 수 있다.

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적분 판정법
개요
유형수열의 수렴 판정법
분야해석학
관련 항목급수 (수학)
설명
내용단조 감소하는 양항 수열의 수렴 여부를 판정하는 방법
조건함수 f(x)가 구간 [1, ∞)에서 정의되고 단조 감소하며, f(n) = aₙ을 만족해야 함
적분 ∫₁^∞ f(x) dx가 수렴하면 급수 ∑ aₙ도 수렴함
적분 ∫₁^∞ f(x) dx가 발산하면 급수 ∑ aₙ도 발산함
주의사항함수 f(x)는 연속 함수여야 함
급수의 첫째항부터가 아니라 유한 개의 항을 제외한 나머지 항에 대해서만 단조 감소해도 판정법을 적용 가능함
예시급수 ∑ 1/n^p (p > 1)는 수렴함
급수 ∑ 1/n (p = 1)는 발산함
활용
활용 예시p-급수의 수렴, 발산 판정에 활용

2. 정의와 증명

음이 아닌 실수 값 감소함수

:f\colon[0,\infty)\to[0,\infty)

:\forall x,y\in[0,\infty)\colon x\le y\implies f(x)\ge f(y)

가 주어졌다고 하자. (특히, f는 임의의 [0,a]\subseteq[0,\infty)에서 리만 적분 가능하다.) '''적분 판정법'''에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[7]


  • 급수 \sum_{n=0}^\infty f(n)는 수렴한다.
  • 이상 적분 \int_0^\infty f(x)\,dx은 수렴한다.

또한, (수렴 여부와 관계 없이) 다음 부등식이 성립한다.

:\int_0^\infty f(x)\,dx\le\sum_{n=0}^\infty f(n)\le f(0)+\int_0^\infty f(x)\,dx

음이 아닌 실수 항 급수의 합과 음이 아닌 실수 값 리만 적분 가능 함수의 이상 적분의 값은 음이 아닌 확장된 실수로서 항상 존재하며, 이들의 수렴 여부는 합이나 적분 값의 유한한지 여부와 동치이다. 임의의 n\in\{0,1,2,\dots\} 및 n\le x\le n+1에 대하여,

:f(n+1)\le f(x)\le f(n)

이다. [n,n+1] 위의 리만 적분을 취하면

:f(n+1)\le\int_n^{n+1}f(x)\,dx\le f(n)

이 된다. n\in\{0,1,2,\dots\}에 대한 급수를 취하면

:\sum_{n=1}^\infty f(n)\le\int_0^\infty f(x)\,dx\le\sum_{n=0}^\infty f(n)

이 된다. 이는

:\begin{align}

\sum_{n=0}^\infty\int_n^{n+1}f(x)\,dx

&=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\int_i^{i+1}f(x)\,dx\\

&=\lim_{n\to\infty}\int_0^{n+1}f(x)\,dx\\

&=\int_0^\infty f(x)\,dx

\end{align}



임에 따른다. 따라서, 만약

:\sum_{n=0}^\infty f(n)<\infty

라면

:\int_0^\infty f(x)\,dx\le\sum_{n=0}^\infty f(n)<\infty

이며, 만약

:\int_0^\infty f(x)\,dx<\infty

라면

:\sum_{n=0}^\infty f(n)=f(0)+\sum_{n=1}^\infty f(n)\le f(0)+\int_0^\infty f(x)\,dx<\infty

이다. 즉, 수렴 여부가 동치다.

정수 N과 무한 구간 [N, \infty)에서 정의된 함수 f가 주어지며, 이 구간에서 함수는 단조 감소 함수이다. 그러면 무한 급수

:\sum_{n=N}^\infty f(n)

는 다음의 부정 적분이

:\int_N^\infty f(x)\,dx

유한할 필요충분조건으로 실수로 수렴한다. 특히, 적분이 발산하면 급수 또한 발산한다.

적분 판정법의 증명은 비교 판정법을 사용하여 f(n)이라는 항을 구간 [n-1,n)과 [n,n+1)에서 f의 적분과 각각 비교한다.

단조 함수 f는 거의 어디에서나 연속이다. 이를 증명하기 위해,

:D=\{ x\in [N,\infty)\mid f\text{는 }x\text{에서 불연속} \}라고 하자.

모든 x\in D에 대해, \mathbb Q의 조밀 집합에 의해, c(x)\in\left[\lim_{y\downarrow x} f(y), \lim_{y\uparrow x} f(y)\right]를 만족하는 c(x)\in\mathbb Q가 존재한다.

이 집합은 f가 x에서 불연속일 때 정확히 열린 집합인 비어 있지 않은 구간을 포함한다. 위 조건을 만족하고, 열거 \mathbb N\to\mathbb Q에서 가장 작은 인덱스를 가진 유리수로 c(x)를 고유하게 식별할 수 있다. f가 단조 함수이므로, 이는 단사 함수 함수 c:D\to\mathbb Q, x\mapsto c(x)를 정의하며, 따라서 D는 가산 집합이다. 따라서 f는 거의 어디에서나 연속이다. 이는 리만 적분 가능성에 충분하다.[5]

f가 단조 감소 함수이므로, 다음을 알 수 있다.

:

f(x)\le f(n)\quad\text{모든 }x\in[n,\infty)\text{에 대해}



그리고

:

f(n)\le f(x)\quad\text{모든 }x\in[N,n]\text{에 대해}.



따라서, 모든 정수 n \ge N에 대해,

:

\int_n^{n+1} f(x)\,dx

\le\int_{n}^{n+1} f(n)\,dx

=f(n)

그리고, 모든 정수 n \ge N + 1에 대해,

:

f(n)=\int_{n-1}^{n} f(n)\,dx

\le\int_{n-1}^n f(x)\,dx.



N에서 어떤 더 큰 정수 M까지의 모든 n에 대해 합하면,

:

\int_N^{M+1}f(x)\,dx=\sum_{n=N}^M\underbrace{\int_n^{n+1}f(x)\,dx}_{\le\,f(n)}\le\sum_{n=N}^Mf(n)



그리고

:

\begin{align}

\sum_{n=N}^Mf(n)&=f(N)+\sum_{n=N+1}^Mf(n)\\

&\leq f(N)+\sum_{n=N+1}^M\underbrace{\int_{n-1}^n f(x)\,dx}_{\ge\,f(n)}\\

&=f(N)+\int_N^M f(x)\,dx.

\end{align}



이 두 추정치를 결합하면 다음과 같다.

:\int_N^{M+1}f(x)\,dx\le\sum_{n=N}^Mf(n)\le f(N)+\int_N^M f(x)\,dx.

M을 무한대로 보내면, 경계와 결과가 도출된다.

2. 1. 상세 증명

음이 아닌 실수 값 감소함수 f\colon[0,\infty)\to[0,\infty)가 주어졌을 때, f는 임의의 [0,a]\subseteq[0,\infty)에서 리만 적분 가능하다.[7][8] 이때, 급수 \sum_{n=0}^\infty f(n)가 수렴하는 것과 이상 적분 \int_0^\infty f(x)\,dx가 수렴하는 것은 서로 동치이다.[7][8]

음이 아닌 실수 항 급수의 합과 음이 아닌 실수 값 리만 적분 가능 함수의 이상 적분의 값은 음이 아닌 확장된 실수로서 항상 존재하며, 이들의 수렴 여부는 합이나 적분 값의 유한한지 여부와 동치이다. 임의의 n\in\{0,1,2,\dots\} 및 n\le x\le n+1에 대하여, f(n+1)\le f(x)\le f(n)이 성립한다. [n,n+1] 위의 리만 적분을 취하면, f(n+1)\le\int_n^{n+1}f(x)\,dx\le f(n)이 된다. n\in\{0,1,2,\dots\}에 대한 급수를 취하면, \sum_{n=1}^\infty f(n)\le\int_0^\infty f(x)\,dx\le\sum_{n=0}^\infty f(n)이 된다. 이는[7][8]

:\begin{align}

\sum_{n=0}^\infty\int_n^{n+1}f(x)\,dx

&=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\int_i^{i+1}f(x)\,dx\\

&=\lim_{n\to\infty}\int_0^{n+1}f(x)\,dx\\

&=\int_0^\infty f(x)\,dx

\end{align}



임에 따른다.

따라서, \sum_{n=0}^\infty f(n)<\infty라면 \int_0^\infty f(x)\,dx\le\sum_{n=0}^\infty f(n)<\infty이며, \int_0^\infty f(x)\,dx<\infty라면 \sum_{n=0}^\infty f(n)=f(0)+\sum_{n=1}^\infty f(n)\le f(0)+\int_0^\infty f(x)\,dx<\infty이다. 즉, 수렴 여부가 동치이다.[7][8]

또한, (수렴 여부와 관계 없이) 다음 부등식이 성립한다.[7][8]

:\int_0^\infty f(x)\,dx\le\sum_{n=0}^\infty f(n)\le f(0)+\int_0^\infty f(x)\,dx

이 증명은 비교 판정법을 사용하여 f(n)이라는 항을 구간 [n-1,n)과 [n,n+1)에서 f의 적분과 각각 비교하여 얻을 수 있다. f가 단조 감소 함수이므로, 다음이 성립한다.

:f(x)\le f(n)\quad\text{모든 }x\in[n,\infty)\text{에 대해}

:f(n)\le f(x)\quad\text{모든 }x\in[N,n]\text{에 대해}.

따라서, 모든 정수 n \ge N에 대해, \int_n^{n+1} f(x)\,dx\le\int_{n}^{n+1} f(n)\,dx=f(n)이고, 모든 정수 n \ge N + 1에 대해, f(n)=\int_{n-1}^{n} f(n)\,dx\le\int_{n-1}^n f(x)\,dx이다.

N에서 어떤 더 큰 정수 M까지의 모든 n에 대해 합하면,

:\int_N^{M+1}f(x)\,dx=\sum_{n=N}^M\underbrace{\int_n^{n+1}f(x)\,dx}_{\le\,f(n)}\le\sum_{n=N}^Mf(n)

:\begin{align}

\sum_{n=N}^Mf(n)&=f(N)+\sum_{n=N+1}^Mf(n)\\

&\leq f(N)+\sum_{n=N+1}^M\underbrace{\int_{n-1}^n f(x)\,dx}_{\ge\,f(n)}\\

&=f(N)+\int_N^M f(x)\,dx.

\end{align}



이 두 추정치를 결합하면 \int_N^{M+1}f(x)\,dx\le\sum_{n=N}^Mf(n)\le f(N)+\int_N^M f(x)\,dx이다. M을 무한대로 보내면, 경계와 결과가 도출된다.

2. 2. 추가 설명

많은 교과서에서는 함수 f가 양수일 것을 요구하지만,[1][2][3] f가 음수이고 감소할 때 Σf(n)과 ∫f(x)dx 둘 다 발산하므로 이 조건은 실제로 필요하지 않다.[4] 함수 f(x)가 증가하면 함수 -f(x)는 감소하므로 위의 정리가 적용된다.

3. 활용

적분 판정법은 다양한 급수의 수렴 여부를 판정하는 데 활용된다.

==== 예시 1: p-급수 ====

급수

:\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^p}\qquad(p\in\mathbb R)

는 '''p-급수'''(조화 급수]]

:

\sum_{n=1}^\infty \frac 1 n



는 p=1인 경우이므로 발산한다. 반면,

:

\zeta(1+\varepsilon)=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{1+\varepsilon}}



(리만 제타 함수 참조)는 \varepsilon > 0에 대해 p = 1 + \varepsilon > 1이므로 수렴한다.

==== 예시 2: 일반화된 p-급수 ====

급수

:\sum_{n=2}^\infty\frac1{n^p\ln^qn}\qquad(p,q\in\mathbb R)

를 생각하자. p>1일 때 수렴하며, p<1일 때 발산한다. 이 급수는 비교 판정법에 의하여, p>1이면 수렴, p<1이면 발산한다.

p=1인 경우, 적분 판정법에 따라, 급수의 수렴 여부는 이상 적분

:\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln^qx}

의 수렴 여부와 같다.

이는

:(x^{-1}\ln^{-q}x)'=-x^{-2}\ln^{-q}x+x^{-1}(-q)\ln^{-q-1}x\cdot x^{-1}=-x^{-2}\ln^{-q-1}x(\ln x+q)<0\qquad(x\gg1)

임에 따른다. 만약 q=1이라면,

:\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln x}=\lim_{x\to\infty}\int_2^x\frac{dt}{t\ln t}=\lim_{x\to\infty}(\ln\ln x-\ln\ln2)=\infty

이다. 만약 q\ne1이라면,

:\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln^qx}=\lim_{x\to\infty}\int_2^x\frac{dt}{t\ln^qt}=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\ln^{1-q}x}{1-q}-\frac{\ln^{1-q}2}{1-q}\right)=\begin{cases}

\infty&q<1\\


  • \ln^{1-q}2/(1-q)&q>1

\end{cases}



이다.

따라서, 이 급수는 p>1이거나 p=1, q>1일 때 수렴하며, p=1, q\le1이거나 p<1일 때 발산한다. 비 판정법·근 판정법·라베 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 베르트랑 판정법의 증명은 이 급수의 (p,q)에 따른 수렴 여부에 기반한다.

마찬가지로, 급수

:\sum_{n=\underbrace}}_{k-1}}^\infty\frac1{n^{p_0}(\ln n)^{p_1}\cdots(\underbrace{\ln\cdots\ln}_k\,n)^{p_k/p-series}})라고 불린다. 이 급수는 p\le0이면 자명하게 발산하며, p>0인 경우 적분 판정법을 통해 수렴 여부를 판별할 수 있다.

적분 판정법에 따르면, p-급수의 수렴 여부는 이상 적분

:\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}

의 수렴 여부와 동치이다.

  • p=1일 경우,

:\int_1^\infty\frac{dx}x=\lim_{x\to\infty}\int_1^x\frac{dt}t=\lim_{x\to\infty}(\ln x-\ln1)=\infty

이므로 발산한다.

  • p\ne 1일 경우,

:\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}=\lim_{x\to\infty}\int_1^x\frac{dt}{t^p}=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^{1-p}}{1-p}-\frac1{1-p}\right)=\begin{cases}

\infty&p<1\\

1/(p-1)&p>1

\end{cases}



이므로, p>1일 때 수렴하고 p<1일 때 발산한다.

따라서 p-급수는 p>1일 때 수렴하고, p\le1일 때 발산한다. 비 판정법이나 근 판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 판별할 수 없다. 라베 판정법의 증명은 이 결과를 바탕으로 한다.

예를 들어

의 수렴 여부 또한 적분 판정법을 통하여 구할 수 있다. \mathbb R^{k+1} 위의 사전식 순서를 \preceq로 적을 때, 이 급수는 (p_0,\dots,p_k)\succ(1,\dots,1)일 때 수렴하며, (p_0,\dots,p_k)\preceq(1,\dots,1)일 때 발산한다.

==== 예시 3: 발산과 수렴의 경계 ====

조화 급수

:

\sum_{n=1}^\infty \frac 1 n



는 자연 로그, 그 부정적분, 미적분학의 기본 정리를 사용하여 다음과 같이 발산한다.

:

\int_1^M \frac 1 n\,dn = \ln n\Bigr|_1^M = \ln M \to\infty

\quad\text{for }M\to\infty.



반면에, 급수

:

\zeta(1+\varepsilon)=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{1+\varepsilon}}



(cf. 리만 제타 함수)

는 모든 \varepsilon > 0에 대해 수렴한다.

3. 1. 예시 1: p-급수

급수

:\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^p}\qquad(p\in\mathbb R)

는 '''p-급수'''(조화 급수]]

:

\sum_{n=1}^\infty \frac 1 n



는 p=1인 경우이므로 발산한다. 반면,

:

\zeta(1+\varepsilon)=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{1+\varepsilon/p-series}})라고 불린다. 이 급수는 p\le0이면 자명하게 발산하며, p>0인 경우 적분 판정법을 통해 수렴 여부를 판별할 수 있다.

적분 판정법에 따르면, p-급수의 수렴 여부는 이상 적분

:\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}

의 수렴 여부와 동치이다.

  • p=1일 경우,

:\int_1^\infty\frac{dx}x=\lim_{x\to\infty}\int_1^x\frac{dt}t=\lim_{x\to\infty}(\ln x-\ln1)=\infty

이므로 발산한다.

  • p\ne 1일 경우,

:\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}=\lim_{x\to\infty}\int_1^x\frac{dt}{t^p}=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^{1-p}}{1-p}-\frac1{1-p}\right)=\begin{cases}

\infty&p<1\\

1/(p-1)&p>1

\end{cases}



이므로, p>1일 때 수렴하고 p<1일 때 발산한다.

따라서 p-급수는 p>1일 때 수렴하고, p\le1일 때 발산한다. 비 판정법이나 근 판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 판별할 수 없다. 라베 판정법의 증명은 이 결과를 바탕으로 한다.

예를 들어



(리만 제타 함수 참조)는 \varepsilon > 0에 대해 p = 1 + \varepsilon > 1이므로 수렴한다.

3. 2. 예시 2: 일반화된 p-급수

급수

:\sum_{n=2}^\infty\frac1{n^p\ln^qn}\qquad(p,q\in\mathbb R)

를 생각하자. p>1일 때 수렴하며, p<1일 때 발산한다. 이 급수는 비 판정법에 의하여, p>1이면 수렴, p<1이면 발산한다.

p=1인 경우, 적분 판정법에 따라, 급수의 수렴 여부는 이상 적분

:\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln^qx}

의 수렴 여부와 같다.

만약 q=1이라면,

:\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln x}=\lim_{x\to\infty}\int_2^x\frac{dt}{t\ln t}=\lim_{x\to\infty}(\ln\ln x-\ln\ln2)=\infty

이다. 만약 q\ne1이라면,

:\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln^qx}=\lim_{x\to\infty}\int_2^x\frac{dt}{t\ln^qt}=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\ln^{1-q}x}{1-q}-\frac{\ln^{1-q}2}{1-q}\right)=\begin{cases}

\infty&q<1\\

  • \ln^{1-q}2/(1-q)&q>1

\end{cases}



이다.

따라서, 이 급수는 p>1이거나 p=1, q>1일 때 수렴하며, p=1, q\le1이거나 p<1일 때 발산한다. 비 판정법·근 판정법·라베 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 베르트랑 판정법의 증명은 이 급수의 (p,q)에 따른 수렴 여부에 기반한다.

마찬가지로, 급수

:\sum_{n=\underbrace}}_{k-1}}^\infty\frac1{n^{p_0}(\ln n)^{p_1}\cdots(\underbrace{\ln\cdots\ln}_k\,n)^{p_k}}

의 수렴 여부 또한 적분 판정법을 통하여 구할 수 있다.

3. 3. 예시 3: 발산과 수렴의 경계

적분 판정법은 \sum_{n=N_k}^\infty\frac1{n\ln(n)\ln_2(n)\cdots \ln_{k-1}(n)\ln_k(n)} 형태의 급수처럼, 수렴과 발산의 경계에 있는 급수들의 수렴 여부를 판정하는 데 유용하게 사용될 수 있다.[6] 여기서 \ln_k(x)는 자연 로그의 k-중첩 합성을 나타내며, N_k는 \ln_k(N_k) \ge 1을 만족하는 최소의 자연수이다.

이러한 급수의 예로, 모든 자연수 k에 대해 다음 급수

:

\sum_{n=N_k}^\infty\frac1{n\ln(n)\ln_2(n)\cdots \ln_{k-1}(n)\ln_k(n)}



는 발산하며,

:

\sum_{n=N_k}^\infty\frac1{n\ln(n)\ln_2(n)\cdots\ln_{k-1}(n)(\ln_k(n))^{1+\varepsilon}}



는 모든 \varepsilon > 0에 대해 수렴한다.

위 급수들의 발산과 수렴은 적분 판정법을 통해 보일 수 있다. 급수의 발산은 연쇄 법칙을 반복 적용하여 확인할 수 있으며, 급수의 수렴은 거듭제곱 규칙, 연쇄 법칙 및 적분 판정법을 사용하여 증명할 수 있다.

4. 역사

5. 한국의 관점

6. 같이 보기

참조

[1] 서적 Calculus: Metric Version Cengage 2021
[2] 서적 An Introduction to Analysis Pearson Education 2004
[3] 서적 Thomas' Calculus: Early Transcendentals Pearson Education 2018
[4] 웹사이트 Why does it have to be positive and decreasing to apply the integral test? https://math.stackex[...] 2020-03-11
[5] 간행물 A Proof of the Lebesgue Condition for Riemann Integrability 1936-09
[6] 문서 "''k'' {{=}} 1 のときの結果は、素数の逆数和が発散することの証明とも関係がある。{{仮リンク|素数の逆数和の発散|en|Divergence of the sum of the reciprocals of the primes}}を参照。"
[7] 서적 Principles of mathematical analysis http://www.mcgraw-hi[...] 2014-10-06
[8] 서적 Analysis I 2016


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